题目

题型：福建省期中题难度：来源：

在直角坐标系中，点A（5，0）关于原点O的对称点为点C。
（1）请直接写出点C的坐标；
（2）若点B在第一象限内，∠OAB=∠OBA，并且点B关于原点O的对称点为点D。
①试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
②现有一动点P从B点出发，沿路线BAAD以每秒1个单位长的速度向终点D运动，另一动点Q从A点同时出发，沿AC方向以每秒0.4个单位长的速度向终点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，已知AB=6，设点P、Q的运动时间为t秒，在运动过程中，是否存在某一个t值，使PQ⊥AC，若存在，试求t的值；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）C（-5，0）；（2）①四边形ABCD为矩形，理由如下：
如图，由已知可得：A、O、C在同一直线上，且 OA=OC；B、O、D在同一直线上，且OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠OAB=∠OBA
∴OA=OB，即AC=2OA=2OB=BD
∴四边形ABCD是矩形；
②如图，由①得四边形ABCD是矩形
∴∠CBA=∠ADC=90°
又AB=CD=6，AC=10
∴由勾股定理，得BC=AD==8
∵，，
∴0≤t≤14
当0≤t≤6时，P点在AB上，连结PQ
∵AP是直径，
∴∠PQA=90°
又∠PAQ=∠CAB，
∴△PAQ∽△CAB
∴，
即，
解得t=3.6
当6＜t≤14时，P点在AD上，连结PQ，
同理得∠PQA=90°，△PAQ∽△CAD
∴，
即，
解得t=12，
综上所述，当动点Q在以PA为直径的圆上时，t的值为3.6或12。