题目

题型：四川省期末题难度：来源：

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10cm，BC=15cm，点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动，点P，Q分另从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为t秒。
（1）当t=4时，求线段PQ的长度；
（2）当t为何值时，△PQC的面积等于16cm²？
（3）点O为AB的中点，连接OC，能否使得PQ⊥OC？若能，求出t值；若不能，说明理由。

答案

解：（1）当t=4时，
∵点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动，点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动，
∴AP=4cm，PC=AC﹣AP=6cm、CQ=2×4=8cm，
∴PQ==10cm；
（2）∵AP=t，PC=AC﹣AP=10﹣t、CQ=2t，
∴S_△PQC=PC×CQ=t（10﹣t）=16，
∴t₁=2，t₂=8，当t=8时，CQ=2t=16＞15，
∴舍去，
∴当t=2时，△PQC的面积等于16cm²；
（3）能够使得PQ⊥OC，如图所示：
∵点O为AB的中点，
∴OA=OB=OC，
∴∠A=∠OCA，
而∠OCA+∠QPC=90°，∠A+∠B=90°，
∴∠B=∠QPC，
又∠ACB=∠PCQ=90°，
∴△ABC∽△QPC，
∴，
∴，
∴t=2.5s。
∴当t=2.5s时，PQ⊥OC。