题目

题型：同步题难度：来源：

(1)如图 1，在△ABC中,点D，E，Q 分别在AB，AC，BC上，且 DE//BC，AQ交DE 于点P. 求证：=
(2)如图，在△ABC 中，∠BAC = 90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC 的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点.    
①如图 2，若AB=AC=1. 直接写出 MN的长；
②如图 3，求证 MN²=DM·EN.

答案

解：(1)证明：在△ABQ 中.由于 DP//BQ.     
∴△ADP∽△ABQ，
∴=      
同理在△ACQ中=    
∴=，
（2）①
②证明：∵∠B +∠C = 90°，∠CEF+∠C= 90°.  
∴∠B =∠CEF    
又∵∠BGD=∠EFC，  
∴△BGD∽△EFC，  
∴=,  
∴DG·EF = CF·BG  
又∵DG=GF= EF，∴GF²=CF·BG，  
由①得:==  
∴()²=（）·（）
∴MN²=DM·EN．