题目

题型：四川省中考真题难度：来源：

在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b，P是边CD上异于点C、D的任意一点。
（1）若a=2b，当点P在什么位置时，△APB与△BCP相似（不必证明）？
（2）若a≠2b，①判断以AB为直径的圆与直线CD的位置关系，并说明理由；②是否存在点P，使以A、B、P为顶点的三角形与以A、D、P为顶点的三角形相似（不必证明）？

答案

解：（1）当点P为CD中点时，△APB∽△BCP；
（2）当a>2b时：
①以AB为直径的圆与直线CD相交，
理由是：∵a>2b，
∴b<a，
∴AB的中点（圆心）到CD的距离b大于半径a，
∴CD与圆相交；
②当点P为CD与圆的交点时，△ABP∽△PAD，即存在点P（两个），使以A、B、P为顶点的三角形与以A、D、P为顶点的三角形相似；
当a<2b时：
①以AB为直径的圆与直线CD相离；
理由是：∵a<2b，
∴b>a，
∴AB的中点（圆心）到CD的距离b大于半径a，
∴CD与圆相离；
②由①可知，点P始终在圆外，△ABP始终为锐角三角形，
∴不存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与以A、D、P为顶点的三角形相似。