题目

题型：四川省期中题难度：来源：

（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在ABACBC上，且DE∥边长，AQ交DE于点P，求证：=；
（2）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；②如图3，求证：MN²=DMEN．

答案

（1）证明：在△ABQ和△ADP中，
∵DP∥BQ，
∴△ADP∽△ABQ，
∴=，
同理在△ACQ和△APE中，=，
∴=．
（2）①答案为：．
②证明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，
∴∠B=∠CEF，
又∵∠BGD=∠EFC，
∴△BGD∽△EFC，
∴=，
∴DG·EF=CF·BG，
又∵DG=GF=EF，
∴GF²=CFBG，
由（1）得==，
∴×=，
∵（）²=，
∴GF²=CF·BG，
∴MN²=DM·EN．