题目

题型：海南省期中题难度：来源：

如图，正方形ABCD边长为10cm，P、Q分别是BC、CD上的两个动点，当P点在BC上运动时，且AP⊥PQ．
（1）求证：△ABP∽△PCQ；
（2）当BP等于多少时，四边形ABCQ的面积为62cm²．

答案

（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD=10，∠B=∠C=90°，
∵AP⊥PQ，
∴∠APQ=90°，
∴∠APB+∠CPQ=90°．
在Rt△ABP中，∠APB+∠BAP=90°，
∵∠BAP=∠CPQ．
∴△ABP∽△PCQ．
（2）解法1：设BP=x．
∵△ABP∽△PCQ，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理，得x²﹣10x+24=0，
解得x₁=4，x₂=6．
∴当BP等于4cm或6cm时，四边形ABCQ的面积为62cm²．
解法2：设BP=x．
∵S_Rt△ADQ=S_{正方形ABCD}﹣S_{四边形ABCQ}=100﹣62=38．
∴ADDQ=38，
∴DQ=，
∴QC=CD﹣DQ=10﹣=．
∵△ABP∽△PCQ，
∴，，整理，得x²﹣10x+24=0．
解得x₁=4，x₂=6．
∴当BP等于4cm或6cm时，四边形ABCQ的面积为62cm²．