题目

题型：不详难度：来源：

（1）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB="A" C，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC的延长线上，且CE=CA． 试求∠DAE的度数．

(2)如果把第(1)题中“AB=AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗?
(3)如果把第(1)题中“∠BA C=90°”的条件改为“∠BAC>90°”。其余条件不变，那么∠DAE与∠BAC有怎样的大小关系? 并说明理由。

答案

（1）45度（2）不改变(3)

解析

解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°
∴∠B＝∠ACB＝45°     …………………………………………1′
∵AB＝BD，AC＝CE，
∴∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE
           ∴……4′
在△ABE中，∠BAE=180°-∠B-∠E=112.5°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=112.5°-67.5°=45度……………6′
（2）不改变．
设∠CAE=x，
∵CA=CE，
∴∠E=∠CAE=x，
∴∠ACB=∠CAE+∠E=2x，
在△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠B=90°-∠ACB=90°-2x，
∵BD=BA，
∴∠BAD=∠BDA=（180°-∠B）=x+45°，
在△ABE中，∠BAE=180°-∠B-∠E，
=180°-（90°-2x）-x=90°+x，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD，
=（90°+x）-（x+45°）=45° ………………………………………7′
（3）       ………………………………………8′
设∠BAC＝α，因为
所以
＝     ………………………………………10′
（1）要求∠DAE，必先求∠BAD和∠CAE，由∠BAC=90°，AB=AC，可求∠B=∠ACB=45°，又因为BD=BA，可求∠BAD=∠BDA=67.5°，再由CE=CA，可求∠CAE=∠E=22.5°，所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=112.5°-67.5°=45度；
（2）先设∠CAE=x，由已知CA=CE可求∠ACB=∠CAE+∠E=2x，∠B=90°-2x，又因为BD=BA，所以∠BAD=∠BDA=x+45°，再根据三角形的内角和是180°，可求∠BAE=90°+x，即∠DAE=∠BAE-∠BAD=（90°+x）-（x+45°）=45度；
（3）可设∠BAC＝α，则 ＝