题目

题型：不详难度：来源：

问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：
①如图1，O是正三角形ABC的中心，∠MON分别与AB、BC交于点P,Q，若∠MON = 120°，则四边形OPBQ的面积等于三角形ABC面积的三分之一.
②如图2，O是正方形ABCD的中心，∠MON分别与AB、BC交于点P,Q，若∠MON = 90°，则四边形OPBQ的面积等于正方形ABCD面积的四分之一.
然后运用类比的思想提出了如下的命题：
③如图3，O是正五边形ABCDE的中心，∠MON分别与AB、BC交于点P,Q，若∠MON = 72°，则四边形OPBQ的面积等于五边形ABCDE面积的五分之一.
任务要求 
（1）请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明；（说明：选①做对的得5分，选②做对的得4分，选③做对的得6分）
（2）请你继续完成下面的探索：
如图④，在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，O是中心,∠MON分别与AB、BC交于点P,Q，若∠MON等于多少度时，则四边形OPBQ的面积等于正n边形ABCDE…面积的n分之一？（不要求证明）
解：（1）我选           .

答案

⑴见解析⑵∠MON=

解析

⑴连接OA，OB，先证明△APO≌△BOQ （OA＝OB，∠OAP＝∠OBQ，∠B+∠POQ＝180°，所以∠OPB+∠OQB＝180°，∠APO＝∠BQO）……………………………4分
所以四边形OPBQ的面积＝三角形OAB的面积。所以结论成立。……………………………2分
⑵∠MON等于度……………………………3分
（1）根据正三角形中心的性质得出，∠OAP=∠OBQ以及OA=OB，以及∠APO=∠BQO，进而得出△APO≌△BOQ，再根据△OAB的面积与△ABC面积关系得出命题正确；
（2）根据规律得出一般公式即可得出∠MON的度数．