题目
题型:不详难度:来源:
(1)若四边形ABCD是正方形,猜想PD与PE的关系,并证明你的结论.
(2)若四边形ABCD是矩形,(1)中的PD与PE的关系还成立吗? (填:成立或不成立).
(3)若四边形ABCD是矩形,AB=6,cos∠ACD= ,设AP=x,△PCE的面积为y,当AP>AC时,求y与x之间的函数关系式.
答案
(1)见解析
(2)成立
(3)见解析
解析
PE⊥PD ……………………………..(2分)
① 点E在射线BC边上,且交点P在对角线AC上时,连结PB
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAP=∠DAP。
又∵AP=AP,∴△BAP≌△DAP(SAS)。
∴PB=PD
∵点P在BE的垂直平分线上
∴PB=PE
∴PE=PD
∵△BAP≌△DAP,∴∠DPA=∠APB.
又∵∠APB=180°-45°-∠ABP=135°-∠ABP,
∴∠DPA=135°-∠ABP。
又∵PE=PB,∴∠BPE=180°-2∠PBE
∴∠DPE=360°-∠DPA-∠APB—∠BPE=360°-2(135°-∠ABP)
-180°+2∠PBE =360°-270°+2∠ABP-180°+2∠PBE=90°
∴PE⊥PD ………………………..(3分)
② P、C两点重合
………………………..(4分)
③ 当点E在BC边的延长线上且点P在对角
线AC的延长线上时,连结PB
同理可证∴△BAP≌△DAP(SAS)。
∴ PB=PD
∴∠PBA=∠PDA
∴∠PBE=∠PDC
∵点P在BE的垂直平分线上
∴PB=PE
∴∠PBE=∠PEB
∴∠PDC=∠PEB
∴∠DFC=∠EFP
∴∠EPF =∠DCF=90°
∴PE⊥PD …………………………………………..(5分)
结论成立
(3)(1)中的猜想不成立. …………………………..(6分)
(4) ①当点P在线段AC上时
∵四边形ABCD是矩形,AB=6
∴DC=AB=6
∴∠ABC=∠ADC=90°
∵cos∠ACD=
∴AD=8,AC=10
作PQ⊥BC于点Q
∴PQ∥AB
∴=
∴=
∴BQ=x, ∴BE=x, ∴CE=x-8
∴△CPQ∽△CAB
∴= ∴=
∴PQ=6-x
∴y=EC×PQ
=(x-8)( 6-x)
=-x2+x-24(5<x<10) ……………………………..(7分)
②当点P在线段AC的延长线上时
∵PQ∥AB
∴△CPQ∽△CAB
∴=
∴=
∴PQ=x-6
∴=
∴=
∴CQ=x-8
∴BQ=x
∴BE=x
∴EC=x-8
∴y =EC×PQ
=(x-8) (x-6)
= -x+24(x>10) ………………………………………..(8分)
[注]学生正确答案与本答案不同,请老师们酌情给分。
核心考点
试题【已知四边形ABCD,点E是射线BC上的一个动点(点E不与B、C两点重合),线段BE的垂直平分线交射线AC于点P,联结DP,PE.(1)若四边形ABCD是正方形,】;主要考察你对相似图形等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)判断直线与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若,,求的长.
如图2-1,在ΔABC中,∠A=2∠B,且∠A=60°.小明通过以下计算:由题意,∠B=30°,∠C=90°,c=2b,a=b,得a2-b2=(b)2-b2=2b2=b·c.即a2-b2= bc.
于是,小明猜测:对于任意的ΔABC,当∠A=2∠B时,关系式a2-b2=bc都成立.
(1)如图2-2,请你用以上小明的方法,对等腰直角三角形进行验证,判断小明的猜测是否正确,并写出验证过程;
(2)如图2-3,你认为小明的猜想是否正确,若认为正确,请你证明;否则,请说明理由;
(3)若一个三角形的三边长恰为三个连续偶数,且∠A=2∠B,请直接写出这个三角形三边的长,不必说明理由.
(1)求证:∽;
(2)如果圆M的半径为,请求出点M的坐标,并写出以为顶点,且过点M的抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下,试问此抛物线上是否存在点P,使得以P、A、M三点为顶点的三角形与相似,如果存在,请求出所有符合条件的点P的坐标,如果不存在,请说明理由。
A.18 | B.12 | C.32 | D.16 |
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