题目

题型：不详难度：来源：

在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为(0°＜＜180°)，得到△A₁B₁C．

小题1:如图1，当AB∥CB₁时，设A₁B₁与BC相交于点D．证明：△A₁CD是等边三角形；
小题2:如图2，连接AA₁、BB₁，若△ACA₁的面积为S，求△BCB₁的面积
小题3:如图3，设AC的中点为E，A₁B₁的中点为P，AC＝a，连接EP．求EP的长度最大时∠的度数，并求出此时EP的最大值．

答案

小题1:易求得, , 因此得证.
小题1:易证得∽,且相似比为，得△BCB₁的面积为3s.
小题1:120°，  

解析

本试题主要考查了三角形的相似的性质的运用，和平行的性质的灵活使用。第一问中当AB∥CB₁时，设A₁B₁与BC相交于点D．结合相似得到角相等，从而△A₁CD是等边三角形
第二问中，连接AA₁、BB₁，若△ACA₁的面积为S，求△BCB₁的面积，结合∠ACB＝90°，
∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为(0°＜＜180°)，得到△A₁B₁C．
。可得。第三问设AC的中点为E，A₁B₁的中点为P，AC＝a，连接EP，利用EP的长度最大值得到。