题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)如图①,当∠BOP=30°时,求点P的坐标;
(Ⅱ)如图②,经过点P再次折叠纸片,使点C落在直线PB′上,得点C′和折痕PQ,若AQ=m,试用含有t的式子表示m;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当点C′恰好落在边OA上时,求点P的坐标(直接写出结果即可).
答案
(Ⅲ)点P的坐标为(,6)或(,6)
解析
试题分析:(Ⅰ)根据题意,∠OBP=90°,OB=6,
在Rt△OBP中,由∠BOP=30°,BP=t,得OP=2t.
∵OP2=OB2+BP2,
即(2t)2=62+t2,
解得:t1=2,t2=﹣2(舍去).
∴点P的坐标为(,6).
(Ⅱ)∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的,
∴△OB′P≌△OBP,△QC′P≌△QCP,
∴∠OPB′=∠OPB,∠QPC′=∠QPC,
∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°,
∴∠OPB+∠QPC=90°,
∵∠BOP+∠OPB=90°,
∴∠BOP=∠CPQ.
又∵∠OBP=∠C=90°,
∴△OBP∽△PCQ,
∴,
由题意设BP=t,AQ=m,BC=11,AC=6,则PC=11﹣t,CQ=6﹣m.
∴.
∴m=(0<t<11).
(Ⅲ)过点P作PE⊥OA于E,
∴∠PEA=∠QAC′=90°,
∴∠PC′E+∠EPC′=90°,
∵∠PC′E+∠QC′A=90°,
∴∠EPC′=∠QC′A,
∴△PC′E∽△C′QA,
∴,
∵PC′=PC=11﹣t,PE=OB=6,AQ=m,C′Q=CQ=6﹣m,
∴AC′==,
∴,
∴,
∴3(6﹣m)2=(3﹣m)(11﹣t)2,
∵m=,
∴3(﹣t2+t)2=(3﹣t2+t﹣6)(11﹣t)2,
∴t2(11﹣t)2=(﹣t2+t﹣3)(11﹣t)2,
∴t2=﹣t2+t﹣3,
∴3t2﹣22t+36=0,
解得:t1=,t2=,
点P的坐标为(,6)或(,6).
点评:此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识.此题难度较大,注意掌握折叠前后图形的对应关系,注意数形结合思想与方程思想的应用.
核心考点
试题【已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中,点A(11,0),点B(0,6),点P为BC边上的动点(点P不与点B、C重合),经过点O、P折叠该纸片】;主要考察你对相似图形等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求证:AB=AF;
(2)当AB=3,BC=5时,求的值.
(1)CG=BH;
(2)FC2=BF•GF;
(3)=.
(1)当x=EF时,求S△DPE:S△DBC的值;
(2)当CQ=CE时,求y与x之间的函数关系式;
(3)①当CQ=CE时,求y与x之间的函数关系式;
②当CQ=CE(n为不小于2的常数)时,直接写出y与x之间的函数关系式.
(1)求证:AF⊥BE;
(2)试探究线段AO、BO、GO的长度之间的数量关系;
(3)若GO:CF=4:5,试确定E点的位置.
(1)求证:BM⊥DF;
(2)若正方形ABCD的边长为2,求ME•MB.
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