题目

题型：不详难度：来源：

如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，，，．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．

（1）当时，求线段的长；
（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；
（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．

答案

（1）  （2）或  （3）

解析

试题分析：     
（1）依题意知，直角梯形ABCD中，CD∥AB。当t＜2时可证明△ECQ∽△MAQ。
当t=0.5时，AM=DE=0.5，则CE="2-0.5=1.5" 则因为EC：AM=EQ：QM。所以1.5:0.5=EQ：QM。所以EQ=3QM。因为EM=AD=4
所以QM=1
（2）依题意知△CPQ为直角三角形，且0＜t＜2时。故有两种情况：
①当∠CPQ=90°时，点P与点E重合，
此时DE+CP=CD，即t+t=2，∴t=1，

②当∠PQC=90°时，如备用图1，此时Rt△PEQ∽Rt△QMA，∴
由（1）知，EQ=EM-QM=4-2t，而PE=PC-CE=PC-（DC-DE）=t-（2-t）=2t-2，
∴
③当2＜t≤6时，可得CD=DP=2时，∠DCP=45°，可以使得以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，此时t=4（舍去），综上所述，t=1或t=
（3）
点评：本题难度较大。此题主要考查了相似三角形的性质与判定以及直角三角形的判定等知识，题目综合性较强，分类讨论时要考虑全面，根据t的取值范围进行讨论是解决问题的关键．