题目

题型：不详难度：来源：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）

（1）若△CEF与△ABC相似．
①当AC=BC=2时，AD的长为　   　；
②当AC=3，BC=4时，AD的长为　   　；
（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．

答案

解：（1）①。
②或。
（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似。理由如下：
如答图3所示，连接CD，与EF交于点Q，

∵CD是Rt△ABC的中线，∴CD=DB=AB，∴∠DCB=∠B。
由折叠性质可知，∠CQF=∠DQF=90°，
∴∠DCB+∠CFE=90°。
∵∠B+∠A=90°，∴∠CFE=∠A。
又∵∠C=∠C，∴△CEF∽△CBA。

解析

（1）若△CEF与△ABC相似．
①当AC=BC=2时，△ABC为等腰直角三角形，如答图1所示，

此时D为AB边中点，AD=AC=。
②当AC=3，BC=4时，有两种情况：
（I）若CE：CF=3：4，如答图2所示，

∵CE：CF=AC：BC，∴EF∥BC。
由折叠性质可知，CD⊥EF，
∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高。
在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴BC=5。
∴cosA=。∴AD=AC•cosA=3×=。
（II）若CF：CE=3：4，如答图3所示．
∵△CEF∽△CAB，∴∠CEF=∠B。
由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD=90°。
又∵∠A+∠B=90°，∴∠A=∠ECD，∴AD=CD。
同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD。∴AD=BD。
∴此时AD=AB=×5=．
综上所述，当AC=3，BC=4时，AD的长为或。
（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似．可以推出∠CFE=∠A，∠C=∠C，从而可以证明两个三角形相似。