题目

题型：同步题难度：来源：

抛物线y=ax² +bx+c的顶点为P，与x轴的两个交点为M、N(点M在点N的左侧)，△PMN的三个内角么∠P、∠M、∠N所对的边分别为p、m、n，且m =n，若关于x的方程(p -m) x²+2nx+(p+m)=0有两个相等的实数根．  
(1)试判断△PMN的形状；  
(2)当顶点P的坐标为（2，-1）时，求抛物线的解析式；  
(3)设抛物线与了轴的交点为Q.
求证：直线y=x-1将四边形MPNQ分成的两个图形的面积相等．

答案

解：(1) △=(2n)²-4(p-m)(p+m)=4n²-4p²+4m² =0 ，
∴4p²=4n²+4m² ，即p²=n²+m² ，
∴△PMN 为直角三角形．
又∵m=n ，
∴△PMN 为等腰直角三角形．
(2) 设抛物线的解析式为y=a·(x- 2)²-1 ，
∵△PAIN 为等腰直角三角形，
∴|MN|=2 ．
又∵M 、N 关于直线x=2 对称，M 在N 的左侧，
∴M(1 ，0) ，N(3 ，0) ，
将点M(1 ，0) 代入到函数解析式，
即0=a·(1-2)² -1,
∴a=1 ．
∴y=(x-2)²-1=x²-4x+3 ．
(3) 如右图 ，直线QN 的解析式为y=3-x,
设直线y=3 -x 与直线y= x-1 的交点为K ，则有 ，
 
∴K点坐标为(2，1)．

∵

∴直线y=x-1将四边形MPNQ分成的两个图形面积相等．