解：(1)证明：∵点O关于直线y＝x＋b的对称，
∴直线y＝x＋b是线段O′D的垂直平分线，
∴AO＝AO′，BO＝BO′，
又∵OA，OB是⊙O的半径，
∴OA＝OB，
∴AO＝AO′＝BO＝BO′，
∴四边形OAO′B是菱形．
(2)当点O′落在圆上时，OM＝OO′＝1，
∴设直线y＝x＋b与x轴、y轴的交点坐标分别是N(－b，0)，P(0，b)，
∵△ONP为等腰直角三角形，
∴∠ONP＝45°，四边形OAO′B是菱形，
∴OM⊥PN，
∵∠ONP＝45°＝∠OPN，
∴OM＝PM＝MN＝1，
在Rt△POM中，由勾股定理得：OP＝，即b＝．