题目

题型：不详难度：来源：

请阅读下列材料：
问题：如图1，圆柱的底面半径为1dm，BC是底面直径，圆柱高AB为5dm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：
路线1：高线AB+底面直径BC，如图1所示．路线2：侧面展开图中的线段AC，如图2所示．（结果保留π）

（1）设路线1的长度为L₁，则L12=______．设路线2的长度为L₂，则L22=______．所以选择路线______（填1或2）较短．
（2）小明把条件改成：“圆柱的底面半径为5dm，高AB为1dm”继续按前面的路线进行计算．此时，路线1：L12=______．路线2：L22=______．所以选择路线______（填1或2）较短．
（3）请你帮小明继续研究：当圆柱的底面半径为2dm，高为hdm时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短．

答案

（1）∵l₁²=7²=49，
L22=AC²=AB²+BC²=5²+π²=25+π²，
49＞25+π²，
所以选择路线2较短；

（2）∵L₁²=（AB+BC）²=（1+10）²=121，
L22=1+25π²
∵l₁²-l₂²＞0，
∴l₁²＞l₂²，∴l₁＞l₂，所以要选择路线1较短．

（3）当圆柱的底面半径为2dm，高为hdm时，
l₂²=AC²=AB²+

BC

²=h²+4π²，
l₁²=（AB+BC）²=（h+4）²，
l₁²-l₂²=（h+4）²-h²+（2π）²=4π²-8h-16=4[（π²-4）-2h]；
当（π²-4）-2h=0时，即h=

π2-4

2

时，l₁²=l₂²；
当h＞

π2-4

2

时，l₁²＜l₂²；
当h＜

π2-4

2

时，l₁²＞l₂²．
故答案为：49，25+π²，2；121，1+25π²，1．