题目

题型：同步题难度：来源：

△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=Rt∠，AC=BC=2。
（1）要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积大？请说明理由；
（2）图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得正方形面积为S₁；按照甲种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S₂（如图2），则S₂=_____；再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为S₃，继续操作下去…，则第10次剪取时，S₁₀=_____；
（3）求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和。

答案

解：（1）如图甲，由题意，得AE=DE=EC，即EC=1，S_{正方形CFDE}=12=1，
如图乙，设MN=x，则由题意，得AM=MQ=PN=NB=MN=x，
∴3x=2，解得x=，
∴S_{正方形PNMQ}=（）²=,
又∵1>，
∴甲种剪法所得的正方形面积更大；
（2）
（3）探索规律可知：，
剩余三角形面积和为=。