题目

题型：四川省期末题难度：来源：

如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，以AE为边作正方形AEFG．
（1）连接GD，求证：△ADG△ABE；
（2）连接FC，求证：∠FCN=45°；
（3）请问在AB边上是否存在一点Q，使得四边形DQEF是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．

答案

（1）证明：如图1，连接DG，
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴DA=BA，EA=GA，
∴∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠DAG=∠BAE，
∴△ADG△ABE；
（2）证明：如图2，过F作BN的垂线，设垂足为H，
∵∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠HEF，
∵AE=EF，
∴△ABE△EHF，
∴AB=EH，BE=FH，
∴AB=BC=EH，
∴BE+EC=EC+CH，
∴CH=BE=FH，
∴∠FCN=45°；
（3）解：如图3，在AB上取AQ=BE，连接QD，
∵AB=AD，
∴△DAQ△ABE，
∵△ABE△EHF，
∴△DAQ△ABE△ADG，
∴∠GAD=∠ADQ，
∴AG、QD平行且相等，
又∵AG、EF平行且相等，
∴QD、EF平行且相等，
∴四边形DQEF是平行四边形．
∴在AB边上存在一点Q，
使得四边形DQEF是平行四边形．
图1

图2

图3