题目

题型：中考真题难度：来源：

已知，△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连接CF。
（1）如图1，当点D在边BC上时，①求证：∠ADB=∠AFC；②请直接判断结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC是否成立；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC是否成立？请写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，当点D在边CB的延长线上时，且点A、F分别在直线BC的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系。

答案

（1）①证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°．
∵∠DAF=60°，
∴∠BAC=∠DAF．
∴∠BAD=∠CAF．
∵四边形ADEF是菱形，
∴AD=AF．
∴△ABD≌△ACF．
∴∠ADB=∠AFC．
②结论：∠AFC=∠ACB＋∠DAC成立；
（2）结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC不成立，
∠AFC、∠ACB、∠DAC之间的等量关系是：∠AFC=∠ACB∠DAC（或这个等式的正确变式），
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC= 60°．
∵∠DAF = 60°，
∴∠BAC=∠DAF，
∴∠BAD=∠CAF．
∵四边形ADEF是菱形，
∴AD=AF．
∴△ABD≌△ACF，
∴∠ADC=∠AFC．
又∵∠ACB=∠ADC＋∠DAC，
∴∠AFC=∠ACB－∠DAC．
（3）补全图形如下图：∠AFC、∠ACB、∠DAC之间的等量关系是：∠AFC=2∠ACB－∠DAC（或∠AFC＋∠DAC＋∠ACB=180°以及这两个等式的正确变式）。