题目
题型:不详难度:来源:
(1)求的度数;
(2)求证:四边形是梯形;
(3)求的面积.
答案
(1)30°
(2)证明略
(3)略
解析
(2)根据(1)的结论和已知条件可以证明△D′CA∽△E′CB,再利用相似三角形的性质就可以证明四边形ABCD′是梯形;
(3)AD′M的面积不能直接求出,要采用面积的割补法,首先确定S△AD′M=S△ACF-S△DCF-S△CD′M,然后分别求出
它们的面积,其中求S△C′DM比较复杂,还要利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方这个结论,最后才能求出△AD′M的面积.
解答:(1)解:如图1,∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°,∵DE∥AB,
∴∠DEC=∠DCE=45°,∠EDC=90°,∴DE=CD=2,∴CE=CE′=4.
如图2,在Rt△ACE中,∠E′AC=90°,AC=2,CE′=4,∴cos∠ACE′=,∴∠ACE′=30°.
(2)证明:如图2,∠D′CE′=∠ACB=45°,∠ACE′=30°,∴∠D′CA=∠E′CB=15°,
又,∴△D′CA∽△E′CB. ∴∠D′AC=∠B=45°,∴∠ACB=∠D′AC,∴AD′∥BC.
∵∠B=45°,∠D′CB=60°,∴∠ABC与∠D′CB不互补,∴AB与D′C不平行.
∴四边形ABCD′是梯形.
(3)解:在图②中,过点C作CF⊥AD′,垂足为F.∵AD′∥BC,∴CF⊥BC.
∴∠FCD′=∠ACF-∠ACD′=30°.在Rt△ACF中,AF=CF=,∴S△ACF=3,
在Rt△D′CF中,CD′=2,∠FCD′=30°,∴D′F=,
∴S△D′CF=.同理,SRt△AE′C=2,SRt△D′E′C=4. ∵∠AME′=∠D′MC,∠E′AM=∠CD′M,
∴△AME′∽△D′MC..
①∴S△AE′M=S△CD′M.②∵S△EMC+S△AE′M=S△AE′C=2,
③S△E′MC+S△CD′M=S△D′EC=4.由③-②,得S△C′DM-S△AE′M=4-2,
由①,得S△CD′M=8-4,∴S△AD′M=S△ACF-S△DCF-S△CD′M=3-5.∴△AD′M的面积是3-5.
点评:此题综合性比较强,难度比较大,考查的知识点比较多,有等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定、面积的割补法和解直接三角形等.
核心考点
试题【如图3,在中,,,两点分别在上,,,将绕点顺时针旋转,得到(如图4,点分别与对应),点在上,与相交于点.(1)求的度数;(2)求证:四边形是梯形;(3)求的面积】;主要考察你对平行四边形性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.6cm | B.6 cm | C.3cm | D.3 cm |
(1)判断四边形ABCE是怎样的四边形,说明理由;
(2)如图②,P是线段BC上一动点(不与点B、C重合),连接PO并延长交线段AB于点Q,QR⊥BD,垂足为点R。四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化?若变化,请说明理由;若不变,求出四边形PQED的面积。
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