题目

题型：不详难度：来源：

如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC＝120°．动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以2cm/s的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．

（1）在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；
（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．
①当t为何值时，点P、M、N在一直线上？
②当点P、M、N不在一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

答案

（1） 若0＜t≤5，则AP＝4t，AQ＝2t. 则 ＝＝，
又 ∵ AO＝10，AB＝20，∴ ＝＝.∴ ＝，
又 ∠CAB＝30°，∴ △APQ∽△ABO，∴ ∠AQP＝90°，即PQ⊥AC. ………………4分  
当5﹤t≤10时，同理可由△PCQ∽△BCO 可得∠PQC＝90°，即PQ⊥AC（考虑一种情况即可） 
∴ 在点P、Q运动过程中，始终有PQ⊥AC.
（2）① 如图，在RtAPM中，易知AM＝，又AQ＝2t，
QM＝20－4t.
由AQ＋QM＝AM 得2t＋20－4t＝
解得t＝，∴ 当t＝时，点P、M、N在一直线上. …………………………8分 
② 存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形.
设l交AC于H.
如图1，当点N在AD上时，若PN⊥MN，则∠NMH＝30°.
∴ MH＝2NH，得 20－4t－＝2× 解得t＝2， …………………10分

如图2，当点N在CD上时，若PM⊥MN，则∠HMP＝30°.∴ MH＝2PH，同理可得t＝.
故 当t＝2或 时，存在以PN为一直角边的直角三角形. …………………12分

解析

略