题目

题型：不详难度：来源：

学完“证明（二）”一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M、N分别在正三角形ABC的边BC．CA上，且BM=CN，AM、BN交于点Q。求证：∠BQM=60°。

（1）请你完成这道思考题；
（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：
①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题?
②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM＝60°？
③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC、CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM＝60°？对②，③进行证明。（自己画出对应的图形）

答案

（1）见解析；（2）①是；②是；③否

解析

试题分析：（1）根据正三角形的性质可得AB=BC，∠ABM＝∠BCN，再结合BM=CN根据“SAS”可证得△ABM△BCN，可得∠BAM=∠CBN，即可求得结果；      
（2）①仍为真命题；②易证△BAN△ACM（SAS），可得∠1＝∠2，∠N＝∠M，即可求得结果；
③易证△ABM△BCN（SAS），可得∠1＝∠2，又∠2+∠3＝90°，即得∠BQM＝∠1+∠3＝∠2+∠3＝90°.
（1）∵正三角形ABC
∴AB=BC，∠ABM＝∠BCN
∵BM=CN
∴△ABM△BCN（SAS）
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°；     
（2）①仍为真命题；    
②如图：

易证△BAN△ACM（SAS）
∴∠1＝∠2，∠N＝∠M
又∠BQM＝∠N+∠QAN＝∠N+∠2＝∠M+∠2＝∠ACB＝60°；
③如图

此时不能得到∠BQM＝60°，而有∠BQM＝90°
易证△ABM△BCN（SAS）
∴∠1＝∠2，又∠2+∠3＝90°，
∴∠BQM＝∠1+∠3＝∠2+∠3＝90°.
点评：判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．