题目

题型：广东省中考真题难度：来源：

如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AD=2，BC=4，延长BC到E，使CE=AD。
（1）写出图中所有与△DCE全等的三角形，并选择其中一对说明全等的理由；
（2）探究当等腰梯形ABCD的高DF是多少时，对角线AC与BD互相垂直？请回答并说明理由。

答案

解：（1）△CDA≌△DCE，△BAD≌△DCE； 
①△CDA≌△DCE的理由是：
∵AD∥BC，
∴∠CDA=∠DCE，
又∵DA=CE，CD=DC ， 
∴△CDA≌△DCE，
②△BAD≌△DCE的理由是：
∵AD∥BC，
∴∠CDA=∠DCE，
又∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠BAD=∠CDA，
∴∠BAD =∠DCE，
又∵AB=CD，AD=CE，
∴△BAD≌△DCE；
（2）当等腰梯形ABCD的高DF=3时，对角线AC与BD互相垂直，
理由是：设AC与BD的交点为点G，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC=DB，
又∵AD=CE，AD∥BC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC=DE，AC∥DE，
∴DB=DE，
则BF=FE，
又∵BE=BC+CE=BC+AD=4+2=6，
∴BF=FE=3，
∵DF=3，
∴∠BDF=∠DBF=45°，∠EDF=∠DEF=45°，
∴∠BDE=∠BDF+∠EDF=90°，
又∵AC∥DE
∴∠BGC=∠BDE=90°，
即AC⊥BD。
（说明：由DF=BF=FE得∠BDE=90°，同样给满分。）