题目

题型：湖北省期中题难度：来源：

如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD．
（1）观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；
（2）若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题（1）中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由．

答案

解：（1）猜想：AF=BD且AF⊥BD． 证明：设AF与DC交点为G．
∵FC=DC，AC=BC，∠BCD=∠BCA+∠ACD，∠ACF=∠DCF+∠ACD，∠BCA=∠DCF=90°，∴∠BCD=∠ACF．
∴△ACF≌△BCD．
∴AF=BD．
∴∠AFC=∠BDC．
∵∠AFC+∠FGC=90°，∠FGC=∠DGA，
∴∠BDC+∠DGA=90度．
∴AF⊥BD．
∴AF=BD且AF⊥BD．
（2）结论：AF=BD且AF⊥BD．
图形不惟一，只要符合要求即可．
画出图形得，写出结论得，此题共．如：
①CD边在△ABC的内部时；②CF边在△ABC的内部时．