题目

题型：江苏省期末题难度：来源：

如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，且直线CD经过∠BCA的内部，点E，F在射线CD上，已知CA=CB且∠BEC=∠CFA=∠ α．
（1）如图1，若∠BCA=90°，∠ α=90°，问EF=BE﹣AF，成立吗？说明理由．
（2）将（1）中的已知条件改成∠BCA=60°，∠ α=120°（如图2），问EF=BE﹣AF仍成立吗？说明理由．
（3）若0°＜∠BCA＜90°，请你添加一个关于∠ α与∠BCA关系的条件，使结论EF=BE﹣AF仍然成立．你添加的条件是 _________ ．（直接写出结论）

答案

解：
（1）EF=BE﹣AF成立，
理由为：在△BCE中，∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠BCE=90°，
∵∠BCA=90°，
∴∠ACF+∠BCE=90°，
∴∠CBE=∠ACF，又BC=CA，∠BEC=∠CFA=90°，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF，CE=AF，
又∵EF=CF﹣CE，
∴EF=BE﹣AF；
（2）EF=BE﹣AF仍成立，
理由为：在△BCE中，∠BEC=120°，
∴∠CBE+∠BCE=60°，
∵∠BCA=60°，
∴∠ACF+∠BCE=60°，
∴∠CBE=∠ACF，又BC=CA，∠BEC=∠CFA=120°，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF，CE=AF，
又∵EF=CF﹣CE，
∴EF=BE﹣AF；
（3）当∠ α+∠BCA=180°时，结论EF=BE﹣AF仍然成立．
故答案为：∠ α+∠BCA=180 °．