题目
题型:北京期末题难度:来源:
(2)如图2,若点E在BA延长线上,你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明;
(3)若点E在AB延长线上,请你根据条件画出相应的图形,并直接写出线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系。
答案
(2)在(1)中得到的结论仍然成立,即BM=DM,∠BMD=2∠BCD。
证法一:∵ 点M是Rt△BEC的斜边EC的中点,
∴ BM=EC=MC,
又点M是Rt△DEC的斜边EC的中点,
∴ DM=EC=MC,
∴ BM=DM,
∵ BM=MC, DM=MC,
∴ ∠CBM =∠BCM, ∠DCM=∠CDM,
∴ ∠BMD=∠EMB∠EMD=2∠BCM2∠DCM
=2(∠BCM∠DCM)= 2∠BCD,
即 ∠BMD=2∠BCD。
证法二:∵ 点M是Rt△BEC的斜边EC的中点,
∴ BM=EC=ME,
又 点M是Rt△DEC的斜边EC的中点,
∴ DM=EC=MC,
∴ BM=DM,
∵ BM=ME, DM=MC,
∴ ∠BEC=∠EBM, ∠MCD=∠MDC,
∴ ∠BEM+∠MCD=∠BAC =90°-∠BCD,
∴ ∠BMD=180°-(∠BMC+∠DME)
=180°-2(∠BEM+∠MCD)
=180°-2(90°-∠BCD)
=2∠BCD,
即∠BMD=2∠BCD。
(3)所画图形如图所示:
图1中有BM=DM,∠BMD=2∠BCD;
图2中∠BCD不存在,有BM=DM;
图3中有BM=DM,∠BMD=360°-2∠BCD。
核心考点
举一反三
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