题目

题型：模拟题难度：来源：

阅读下列材料，按要求解答问题：
如图，在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°，小明通过以下计算：由题意，∠B=30°，∠C=90°，c=2b，a=b，得a²-b²=（b）²-b²=2b²=b.c，即a²-b²=bc，
于是，小明猜测：对于任意的△ABC，当∠A=2∠B时，关系式a²-b²=bc都成立。
（1）如图1，请你用以上小明的方法，对等腰直角三角形 进行验证，判断小明的猜测是否正确，并写出验证过程；
（2）如图2，你认为小明的猜想是否正确，若认为正确，请你证明；否则，请说明理由；
（3）若一个三角形的三边长恰为三个连续偶数，且∠A=2∠B，请直接写出这个三角形三边的长，不必说明理由。

答案

解：（1）由题意，得∠A=90°，c=b，a=b，
∴a²-b²=（）²-b²=b²=bc；
（2）小明的猜想是正确的，理由如下：
延长BA至点D，使AD=AC=b，连接CD，则△ACD为等腰三角形，
∴∠BAC=2∠ACD，
又∠BAC=2∠B，
∴∠B=∠ACD=∠D，
∴△CBD为等腰三角形，即CD=CB=a，
又∠D=∠D，
∴△ACD∽△CBD，
∴
即，
∴a²=b²+bc，
∴a²-b²=bc；
（3）a=12，b=8，c=10。