题目

题型：广东省期中题难度：来源：

如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm，某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动。
（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？
（2）是否存在时刻t，使A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）设经过x秒，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的，
由题意得DN=2x，AN=6-2x， AM=x，
∵矩形ABCD中AB=3，BC=6，
∴AD=BC=6，CD=AB=3，
从而矩形ABCD的面积为AB·AD=3×6=18，
△AMN的面积=，
可得方程，
解得：，
所以，经过1秒或2秒，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的；
（2）由题意得DN=2t，AN=6-2t，AM=t，
若，
则有，即，
解得：x=1.5；
若，
则有，即，
解得：x=2.4，
所以，当t=1.5秒或2.4秒时，以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似。