题目

题型：河北省模拟题难度：来源：

一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=a。     
（1）如图1，两个三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为_____，周长为_____；
（2）将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为_____，周长为____；
（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1、图2的位置，如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并试着加以验证。

答案

解：（1）；
（2）；
（3）猜想：重叠部分的面积为。
理由如下：
    过点M分别做AC、BC的垂线MH、MG，垂足为H、G，
为说明方便，不妨设MN与AC的交点为E，MK与BC的交点为F，
    由于M是△ABC斜边AB的中点，AC=BC=，
所以MH=MG=，
    又因为 ∠HME=∠GMF，
所以 Rt△MHE≌Rt△MGF，
因此阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积，
而正方形CGMH的面积是MG·MH=×=，
所以阴影部分的面积是。