题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB=2AD。
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）保持图1中ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明；
（3）保持图2中△ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明。

答案

解：（1）△ABC为等腰直角三角形。
如图1，在矩形ABED中，
∵点C是边DE的中点，且AB=2AD，
∴AD=DC=CE=EB，DD=DE=90°，
∴Rt△ADC≌Rt△BEC，
∴AC=BC，∠1=∠2=45°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形；
（2）DE=AD+BE；
如图2，在Rt△ADC和Rt△CEB中，
∵∠1+∠CAD=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠CAD=∠2，
又∵AC=CB，∠ADC=∠CEB=90°，
∴Rt△ADC≌Rt△CEB，
∴DC=BE，CE=AD，
∴DC+CE=BE+AD，即DE=AD+BE；
（3）DE=BE-AD。
如图3，Rt△ADC和Rt△CEB中，
∵∠1+∠CAD=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠CAD=∠2，
又∵∠ADC=∠CEB=90°，AC=CB，
∴Rt△ADC≌Rt△CEB，
∴DC=BE，CE=AD，
∴DC-CE=BE-AD，即DE=BE-AD。