题目

题型：不详难度：来源：

如图：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是斜边BC的中点．
（1）如图1，若E、F分别是AB、AC上的点，且AE=CF．求证：①△AED≌△CFD；②△DEF为等腰直角三角形．
（2）如图2，点F、E分别D在CA、AB的延长线上，且AE=CF，猜想△DEF是否为等腰直角三角形？如果是请给出证明．

答案

（1）证明：①∵∠BAC=90°，
AB=AC=6，D为BC中点
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，
∴AD=BD=DC，
∵在△AED和△CFD中，

AE=CF ∠EAD=∠DAC AD=AD

                    
∴△AED≌△CFD（SAS）；

②∵△AED≌△CFD，
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
又∵∠CDF+∠ADF=90°，
∴△DEF为等腰直角三角形；

（2）△DEF为等腰直角三角形，
理由：∵∠BAC=90° AB=AC=6，D为BC中点
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，
∴AD=BD=DC，
∵在△AED和△CFD中，

AE=CF ∠BAD=∠C AD=CD

，
∴△AED≌△CFD（SAS）；   
∴DE=DF∠ADE=∠CDF，
又∵∠CDF+∠ADF=90°，
∴△DEF为等腰直角三角形．