题目

题型：沙河口区一模难度：来源：

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P为BC所在直线上一点，D为AB所在直线上一点，操作：当PA=PD时，过点D作BC所在直线的垂线，垂足为E．



（1）猜测线段PE与线段BC的数量关系；
（2）请你利用图②，图③，选择不同位置的点P、D按上述方法操作；
（3）经历（2）之后，如果认为你猜测的结论是正确的，请加以证明；如果认为你猜测的结论是错误的，请说明理由．

答案

（1）如图，过点A作AM⊥BC，垂足为M，
∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°，
∵PA=PD，∴∠BAP=∠PDB，
∵DE⊥BC，∴∠BDE=∠EBD=45°，
∴∠APM=∠PDE，
∴△PDE≌△APM，∴PM=DE，
∵ED=BE，∴PM=BE，
∴PE=BM=

1

2

BC；

（2）如图，点P在CB的延长线上，


当点P分别放在点P在BC的延长线上时不成立；

（3）当点P分别放在点P在CB的延长线上，
如（2）中图，如图，过点A作AM⊥BC，垂足为M，
∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°，
∵PA=PD，∴∠BAP=∠PDB，
∵DE⊥BC，∴∠BDE=∠EBD=45°，
∴∠APM=∠PDE，
∴△PDE≌△APM，∴PM=DE，
∵ED=BE，∴PM=BE，
∴PE=BM=

1

2

BC；
此时成立，
当点P分别放在点P在BC的延长线上时，
∵PA=PD，∴∠BAP=∠PDB，
∵∠BAP=∠PDB＞90°，
∴由三角形的内角和定理得，
当点P分别放在点P在BC的延长线上时不成立．