题目

题型：不详难度：来源：

已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积．

答案

设直角三角形的三边长分别为a，b，c（c是斜边），
则a+b+c=60．
∵a≤b＜c，a+b+c=60，
∴60=a+b+c＜3c，
∴c＞20．
∵a+b＞c，a+b+c=60，
∴60=a+b+c＞2c，
∴c＜30．
又∵c为整数，
∴21≤c≤29．
根据勾股定理可得：a²+b²=c²，把c=60-a-b代入，
化简得：ab-60（a+b）+1800=0，
∴（60-a）（60-b）=1800=2³×3²×5²，
∵a，b均为整数且a≤b，
∴只可能是

60-a=23×5 60-b=32×5

或

60-a=2×52 60-b=22×32

解得

a=20 b=15

或

a=10 b=24.

，
∵三角形的外接圆的直径即为斜边长c，
∴当a=20，b=15时，c=25，三角形的外接圆的面积为

625

4

π；
当a=10，b=24时，c=26，三角形的外接圆的面积为169π．