题目

题型：同步题难度：来源：

如图，已知直线l₁∥l₂，直线l₃和直线l₁、l₂交于点C 和D ，在C 、D 之间有一点P ，如果P 点在C 、D 之间运动时，问∠PAC ，∠APB ，∠PBD 之间的关系是否发生变化. 若点P 在C 、D 两点的外侧运动时（P 点与点C 、D 不重合），试探索∠PAC ，∠APB ，∠PBD 之间的关系又是如何？

答案

解：若P 点在C、D之间运动时，则有∠APB＝∠PAC+∠PBD，
理由是：过点P 作PE ∥l₁，则∠APE＝∠PAC，
又因为l₁∥l₂，
所以PE ∥l₂，
所以∠BPE ＝∠PBD，
所以∠APE+∠BPE ＝∠PAC+∠PBD ，
即∠APB＝∠PAC+∠PBD，
若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），则有两种情形：
（1 ）如图1，有结论：∠APB ＝∠PBD －∠PAC，
理由是：过点P 作PE ∥l₁，则∠APE＝∠PAC，
又因为l₁∥l₂，
所以PE ∥l₂，
所以∠BPE ＝∠PBD，
所以∠APB ＝∠BAE+∠APE，
即∠APB＝∠PBD－∠PAC；
（2）如图2，有结论：∠APB ＝∠PAC －∠PBD，
理由是：过点P作PE∥l₂，则∠BPE ＝∠PBD，
又因为l₁∥l₂，
所以PE∥l₁，
所以∠APE ＝∠PAC，
所以∠APB＝∠APE+∠BPE，
即∠APB＝∠PAC+∠PBD。