题目

题型：重庆市期末题难度：来源：

已知抛物线过点（-2，4），与y轴的交点为B（0，1）。
（1）求抛物线的解析式及其顶点A的坐标；
（2）在抛物线上是否存在一点C，使∠BAC=90^。？若不存在说明理由；若存在，求出点C的坐标；
（3）P、Q为抛物线上的两点，且横坐标分别为4和6，在x轴、y轴上分别有两个动点M、N，当PM +MN +NQ最小时，求出M、N两点的坐标。

答案

解：（1）∵ 抛物线过（- 2，4），（0，1） 
               ∴  ∴
              ∴抛物线的解析式为，其顶点为（2，0）
（2）假设存在C点使∠BAC = 90°，
        设C（t，），
        过C作CD⊥x轴于D，则D（t，0）， 
       ∴
      ∵ ∠BAC = 90°，∠ADC = 90°
       ∴ ∠BAO =∠ACD
       ∴ △BAO ∽△ACD
      ∴
      ∴解得t₁ = 2（舍），t₂ = 10
      ∴ 存在C（10，16）使∠BAC = 90°
（3）∵ 点P在抛物线上，且横坐标分别为4和6
         ∴ P（4，1），Q（6，4）
         ∴ 点P关于x轴的对称点为P"（4，- 1），
              点Q关于y轴的对称点Q"（- 6，4）
        ∵
       ∴ 当P"、M、N、Q"共线时，最小
      ∵ P"Q"的解析式为
     ∴ 此时M（2，0），N（0，1）