有一块直角三角形铁皮，两条直角边长分别为30cm和40cm，现需在其内部裁出一块面积尽量大的矩形铁皮ABCD，在分割时，小明和小亮的意见出现了分歧．（1）小明 - 初中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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有一块直角三角形铁皮，两条直角边长分别为30cm和40cm，现需在其内部裁出一块面积尽量大的矩形铁皮ABCD，在分割时，小明和小亮的意见出现了分歧．

（1）小明想利用图①的分割方法，设矩形铁皮的一边AB=xcm．
①AD边的长度如何表示？
②当x取何值时，矩形铁皮的面积最大？最大值是多少？
（2）小亮建议利用图②的分割方法，他认为能裁出面积更大的矩形铁皮，你认为他的想法能否实现？为什么?

答案

（1）①AD=30-

(0＜x＜40)；
②S₁=x·(30-

)=-

，由于0＜20＜40，所以当x=20时，矩形铁皮的面积最大，
最大值是S₁=300(cm²)；
（2）小亮的想法不能实现
事实上， S₂=x·(24-

)=-

，所以利用图②的分割方法，
铁皮的面积最大值是S₂=300(cm²)，不比利用图①的分割方法截得的铁皮的面积大.

核心考点

试题【有一块直角三角形铁皮，两条直角边长分别为30cm和40cm，现需在其内部裁出一块面积尽量大的矩形铁皮ABCD，在分割时，小明和小亮的意见出现了分歧．（1）小明】；主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3）
（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）求出该抛物线的对称轴和顶点坐标；

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如图所示，在平面直角坐标系xoy中，矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B，且18a+c=0.

（1）求抛物线的解析式；
（2）如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动.
①移动开始后第t秒时，设△PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围.
②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在，求出R点的坐标，如果不存在，请说明理由.

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把抛物线y=2x²向左平移1个单位，则所得抛物线的解析式是 [ ]
A、y=2(x-1)²B、y=2(x+1)²C、y=2x²-1
D、y=2x²+1

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某种品牌的空调，现在的市场售价为3600元，销售量为36万台，经市场调查，发现每台售价x元与销售量y万台间有如下关系：

如果每台价格降到2500元，则厂家销售收入恰抵成本，假设每台空调的成本不随产量所变化.
（1）如果厂家至少要维持现有的销售量，求y关于x的一次函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求厂家获得的总利润W（元）（总利润=(销售价-成本价)×销售台数）与每台售价x（元）之间的函数关系式；
（3）问价格为多少元时，厂家获利最大？价格定在什么范围内厂家获得的总利润随售价的增大而增大？

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如图，以矩形OCPD的顶点O为原点，它的两条边所在的直线分别为x轴和y轴建立直角坐标系. 以点P为圆心，PC为半径的⊙P与x轴的正半轴交于A、B两点，若抛物线y=ax²+bx+4经过A， B， C三点，且AB=6.

（1）求⊙P的半径R的长；
（2）求该抛物线的解析式并直接写出该抛物线与⊙P的第四个交点E的坐标；
（3）若以AB为直径的圆与直线AC的交点为F，求AF的长.

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