题目

题型：福建省中考真题难度：来源：

如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. （1）求AD的长；
（2）设CP=x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大，并求出最大值；
（3）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由.

答案

（1）如图1过A作AE⊥CD，垂足为E .
依题意，DE=
在Rt△ADE中，AD=；
（2）∵CP=x，h为PD边上的高,依题意，△PDQ的面积S可表示为：
S=PD·h
=
=
=
由题意，知0≤x≤5 .
当x=时（满足0≤x≤5），S_最大值=；
（3）假设存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ .
于是9-x=x，x=
 此时，点P、Q的位置如图3所示，连QP .
△PDQ恰为等边三角形 . 过点Q作QM∥DC，交BC于M，
点M即为所求. 连结MP，以下证明四边形PDQM是菱形 .
易证△MCP≌△QDP，
∴∠D=∠3 . MP=PD ∴MP∥QD ,
∴四边形PDQM是平行四边形
. 又MP=PD , ∴四边形PDQM是菱形 .
所以存在满足条件的点M，且BM=BC-MC=5-=.