题目

题型：广东省中考真题难度：来源：

如图 ，已知直线 L过点A（0，1）和B（1，0），P是x轴正半轴上的动点，OP的垂直平分线交L于点Q，交x轴于点M．
（1）直接写出直线L的解析式；
（2）设OP=t，的面积为S，求S关于t的函数关系式；并求出当时，S的最大值；
（3）直线L₁过点A且与x轴平行，问在L₁上是否存在点C， 使得是以Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标，并证明；若不存在，请说明理由．

答案

（1）；
（2）∵，∴Q点的横坐标为，
①当，即时，，
∴
②当时，，
∴．

当，即时，，
∴当时，S有最大值；
（3）由OA=OB=1，所以是等腰直角三角形，若在上存在点C，使得是以Q为直角顶点的等腰直角三角形，则PQ=QC，所以OQ=QC，又轴，则C，O两点关于直线L对称，所以AC=OA=1，得C（1，1）． 下证．连CB，则四边形OABC是正方形．
（i）当点P在线段OB上，Q在线段AS上

由对称性，得
∴
∴
（ii）当点P在线段OB的延长线上，Q在线段AB上时，如图-2，如图-3
∵， ∴
（iii）当点Q与点B重合时，显然．
综合（i）（ii）（iii），．
∴在上存在点，使得是以Q为直角顶点的等腰直角三角形．