题目

题型：北京期末题难度：来源：

已知：抛物线y=x²-（m+1）x+m与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C。
（1）若m＞1，△ABC的面积为6，求抛物线的解析式；
（2）点D在x轴下方，是（1）中的抛物线上的一个动点，且在该抛物线对称轴的左侧，作DE∥x轴与抛物线交于另一点E，作DF⊥x轴于F，作EG⊥x轴于点G，求矩形DEGF周长的最大值；
（3）若m<0，以AB为一边在x轴上方做菱形ABMN（∠NAB为锐角）， P是AB边的中点，Q是对角线AM上一点，若，，当菱形ABMN的面积最大时，求点A的坐标。

答案

解：∵ 抛物线与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0），
∴ x₁、x₂是关于x的方程的解
解方程，得x=1或x=m
（1）∵ A在B 的左侧，m>1，
∴ ，
∴ AB=m-1
抛物线与y轴交于C（0，m）点
∴ OC=m
△ABC的面积S=
解得（不合题意，舍去）
∴ 抛物线解析式为
（2）∵ 点D在（1）中的抛物线上，
∴ 设D（t，）（）
∴ F（t，0），DF=
又抛物线对称轴是直线，DE与抛物线对称轴交点记为R（如图1），

∴ DR=，DE=。
设矩形DEGF的周长为L，则 L=2（DF+DE）
∴ L =2


∵ ，
∴ 当且仅当时，L有最大值。
当时，
∴ 矩形周长的最大值为
（3）∵ A在B 的左侧，m<0，
∴ ，
∴ AB=1-m
如图2，作NH⊥AB于H，连结QN

在Rt△AHN中， 
设AH=4k（k>0）， 则AN=5k，NH=3k
∴ AP=，PH=AH-AP==，
PN=
∵ 菱形ABMN是轴对称图形，
∴ QN=QB
∴ PQ+QN=PQ+QB=6
∵ PQ+QN≥PN（当且仅当P、Q、N三点共线时，等号成立）
∴ ，
解得 k≤
∵
∴ 当菱形面积取得最大值48时，k=
此时AB=5k=1-m=
解得 m=1-
∴ A点的坐标为（1-，0）。