题目

题型：河北省模拟题难度：来源：

如图，在直角坐标系中，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，tan∠OAB=2，二次函数y=x²+mx+2的图象经过点A、B，顶点为D。
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将上述二次函数图象沿y轴向上或向下平移后经过点C，请直接写出点C的坐标和平移后所得图象的函数解析式；
（3）设（2）中平移后所得二次函数图象与y轴的交点为B₁，顶点为D₁，点P在平移后的二次函数图象上，且满足△PBB₁的面积是△PDD₁面积的2倍，求点P的坐标。

答案

解：由题意，点B的坐标为（0，2），
∴OB=2，
∵tan∠OAB=2，即，
∴OA=1，
∴点A的坐标为（1，0），
又∵二次函数的图像过点A，
∴0=1²+m+2，
解得m=-3，
∴所求二次函数的解析式为；
（2）由题意，可得点C的坐标为（3，1），
所求二次函数解析式为；
（3）由（2），经过平移后所得图象是原二次函数图象向下平移1个单位后所得的图象，那么对称轴直线不变，且，
∵点P在平移后所得二次函数图象上，设点P的坐标为，
在和中，
∵，
∴边上的高是边上的高的2倍，
①当点P在对称轴的右侧时，，得x=3，
∴点P的坐标为（3，1）；
②当点P在对称轴的左侧，同时在y轴的右侧时，，得x=1，
∴点P的坐标为（1，-1）；
③点P在y轴的左侧时，x<0，又-x=，得x=3>0（舍去），
∴所求点P的坐标为（3，1）或（1，-1）。