题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点，抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于点D，与直线y=x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C。
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连接DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长；
（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由。

答案

解：（1）∵圆心O在坐标原点，圆O的半径为1，
∴点A、B、C、D的坐标分别为
∵抛物线与直线y=x交于点M，N，且分别与圆O相切于点A和点C，
∴
∵点在抛物线上，将的坐标代入，
得：，解之，得：
∴抛物线的解析式为：；
（2）∵
∴抛物线的对称轴为，
∴
连结，
∴
∴
又，
∴
∴；
（3）点P在抛物线上，
设过D，C点的直线为：
将点的坐标代入，得：，
∴直线DC为：，
过点B作圆O的切线BP与x轴平行，P点的纵坐标为，
将代入，得：，
∴P点的坐标为，
当时，，
所以，P点在抛物线上。