题目

题型：辽宁省中考真题难度：来源：

如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB=1，OB=，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60°后得到矩形EFOD，点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线y=ax²+bx+c过点A，E，D。
（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）点E在y轴上，
理由如下：
连接AO，如图所示，在中，
∵，
∴，
∴，
∴
由题意可知：
∴
∵点B在x轴上，
∴点E在y轴上；
（2）过点D作轴于点M，
∵
∴在中，，
∵点D在第一象限，
∴点D的坐标为，
由（1）知，点E在y轴的正半轴上
∴点E的坐标为
∴点A的坐标为，
∵抛物线经过点E，
∴c=2
由题意，将代入中得
 解得
∴所求抛物线表达式为：
（3）存在符合条件的点P，点Q，
理由如下：
∵矩形ABOC的面积
∴以为顶点的平行四边形面积为，
由题意可知OB为此平行四边形一边，
又∵
∴OB边上的高为2，
依题意设点P的坐标为，
∵点P在抛物线上
∴
解得，
∴
∵以为顶点的四边形是平行四边形，
∴，
∴当点P₁的坐标为（0，2）时，
点Q的坐标分别为；
当点P₂的坐标为时，
点Q的坐标分别为。