题目

题型：广东省中考真题难度：来源：

已知抛物线y=ax²+bx+2与x轴相交于点A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），且x₁，x₂是方程x²-2x-3=0的两个实数根，点C为抛物线与y轴的交点。
（1）求a，b的值；
（2）分别求出直线AC和BC的解析式；
（3）若动直线y=m（0＜m＜2）与线段AC，BC分别相交于D，E两点，则在x轴上是否存在点P，使得△DEP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

答案

解：（1）由x²-2x-3=0，得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
把A，B两点的坐标分别代入y=ax²+bx+2联立求解，得；
（2）由（1）可得，
∵当x=0时，y=2，
∴C（0，2），
设AC：y=kx+b，把A，C两点坐标分别代入y=kx+b，
联立求得k=2，b=2，
∴直线AC的解析式为y=2x+2；
同理可求得直线BC的解析式是；
（3）假设存在满足条件的点P，
并设直线y=m与y轴的交点为F（0，m），
①当DE为腰时，分别过点D，E作DP₁⊥x轴于P₁，作EP₂⊥x轴于P₂，
如图，则△P₁DE和△P₂ED都是等腰直角三角形，
DE=DP₁=FO=EP₂=m，AB=x₂-x₁=4，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴，即，
解得m=，
∴点D的纵坐标是，
∵点D在直线AC上，
∴2x+2=，解得x=-，
∴，
∴，同理可求P₂（1，0）；
②当DE为底边时，过DE的中点G作GP₃⊥x轴于点P₃，如图，
则DG=EG=GP₃=m，
由△CDE∽△CAB，
得，即，
解得m=1，
同1方法，求得，
∴DG=EG=GP₃=1，
∴OP₃=FG=FE-EG=，
∴P₃（，0），
结合图形可知，P₃D²=P₃E²=2，ED²=4，
∴，
∴△DEP₃是Rt△，
∴也满足条件。
综上所述，满足条件的点P共有3个，即。