题目

题型：浙江省中考真题难度：来源：

已知如图，矩形OABC的长OA=，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC。
（1）填空：∠PCB=____度，P点坐标为（ ， ）；
（2）若P，A两点在抛物线y=-x²+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；
（3）在（2）中的抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点M，使得四边形MCAP的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）30，（，）；
（2）∵点P（，），A（，0）在抛物线上
∴
∴
∴抛物线的解析式为y=-x²+x+1
C点坐标为（0，1）
∵-×0²+×0+1=1
∴C点在此抛物线上。（3）假设存在这样的点M，使得四边形MCAP的面积最大
∵△ACP面积为定值，
∴要使四边形MCAP的面积最大，只需使△PCM的面积最大
过点M作MF⊥x轴分别交CP、CB和x轴于E、N和F，过点P作PG⊥x轴交CB于G
=ME·CG=ME
设M（x₀，y₀），
∵∠ECN=30°，CN=x₀，∴EN=x₀
∴ME=MF-EF=-x₀²+x₀
∴=-x₀²+x
∵a=-＜0，
∴S有最大值
当x₀=时，S的最大值是
∵
∴四边形MCAP的面积的最大值为
此时M点的坐标为（，）
所以存在这样的点M（，），使得四边形MCAP的面积最大，其最大值为。