题目

题型：江苏省期中题难度：来源：

如图，抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为直线x=1，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（-1，0）、C（0，3），
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的顶点为P，将△BOC绕着它的顶点B顺时针在第一象限内旋转，旋转的角度为α，旋转后的图形为△BO′C′，
①当O′C′∥CP时，求α的大小；
②△BOC在第一象限内旋转的过程中，当旋转后的△BO′C′有一边与BP重合时，求△BO′C′不在BP上的顶点的坐标。

答案

解：（1）由题意得，
所以，此抛物线的解析式为。（2）①如图，顶点P为（1，4），
CP，
BP，
又因为，
所以∠PCB=90°，
又因为O′C′ ∥CP，所以O′C′⊥BC，
所以点O′在BC上，
所以α=45°；
②如备用图1，当BC′与BP重合时，
过点O′作O′D⊥OB于D，
因为∠PBC+∠CBO′=∠CBO′+∠ABO′=45°，
所以∠ABO′=∠PBC，
则△DBO′∽△CBP，
所以，
所以BD=3O′D，
设O′D= x，则BD=3x，
根据勾股定理，
得，
所以BD，
所以点O′的坐标为。
如备用图2，当BO′与BP重合时，过点B作x轴的垂线BE，
过点C′作C′E⊥BE于E，
因为∠PBE+∠EBC′=∠PBE+∠CBP=45°，
所以∠EBC′=∠PBC，
所以△EBC′∽△CBP，
所以，
所以BE=3C′E，
设C′E为y，则BE=3y，
根据勾股定理，
得，
所以BE，
所以C′的坐标为。