题目

题型：月考题难度：来源：

如图所示，二次函数y=ax²+bx+1（a≠0）的图像与x轴分别交于A（-，0）、B（2，0）两点，且与y轴交于点C。
（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；
（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点坐标;若不存在，说明理由。

答案

解：（1）根据题意，将A（-，0）、B（2，0）代入中得，
解这个方程，得，
∴该抛物线的解析式为
当x=0时，y=1，
∴点C的坐标为（0，1）
∴在Rt△AOC中，
在Rt△BOC中，，

∵
∴△ABC是直角三角形； （2）点D的坐标为（，1）； （3）存在，
由（1）知，AC⊥BC，
①若以BC为底边，则BC∥AP，
如图1所示，可求得直线BC的解析式为，
把A（-，0）代入直线AP的解析式，
求得，
∴直线AP的解析式为
∵点P既在抛物线上，又在直线AP上
∴点P的纵坐标相等，即
解得，（舍去）
当时，
∴点P（，-）
②若以AC为底边，则BP∥AC，
如图2所示，可求得直线AC的解析式为y=2x+1，
直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，
所以设直线BP的解析式为y=2x+b₂，
把B（2，0）代入直线BP的解析式，
求得b₂=-4，
∴直线BP的解析式为y=2x-4
∵点P既在抛物线上，又在直线BP上
∴点P的纵坐标相等
即，
解得（舍去）
当时，y=-9，
∴点P的坐标为（-，-9）
综上所述，满足题目条件的点P为（，-）或（-，-9）。