题目
题型:四川省中考真题难度:来源:
(1)求的值及抛物线的函数表达式;
(2)设E是y轴右侧抛物线上一点,过点E作直线AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E,使得以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积;若不存在,请说明理由;
(3)若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点,过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于 ,两点,试探究 是否为定值,并写出探究过程.
答案
∴0=+m,解得m=,
∴直线解析式为,C(0,).
∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1,且与x轴交于A(﹣3,0),∴另一交点为B(5,0),
设抛物线解析式为y=a(x+3)(x﹣5),
∵抛物线经过C(0,),
∴=a3(﹣5),解得a=,
∴抛物线解析式为y=x2+x+;
(2)假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形,
则AC∥EF且AC=EF.
如答图1,
(i)当点E在点E位置时,过点E作EG⊥x轴于点G,
∵AC∥EF,∴∠CAO=∠EFG,
又∵,∴△CAO≌△EFG,
∴EG=CO=,即yE=,
∴=xE2+xE+,解得xE=2(xE=0与C点重合,舍去),
∴E(2,),SACEF=;
(ii)当点E在点E′位置时,过点E′作E′G′⊥x轴于点G′,
同理可求得E′(+1,),
SACE′F′=.
(3)要使△ACP的周长最小,只需AP+CP最小即可.
如答图2,连接BC交x=1于P点,因为点A、B关于x=1对称,根据轴对称性质以及两点之间线段最短,
可知此时AP+CP最小(AP+CP最小值为线段BC的长度).
∵B(5,0),C(0,),∴直线BC解析式为y=x+,
∵xP=1,∴yP=3,即P(1,3).
令经过点P(1,3)的直线为y=kx+3﹣k,
∵y=kx+3﹣k,y=x2+x+,
联立化简得:x2+(4k﹣2)x﹣4k﹣3=0,
∴x1+x2=2﹣4k,x1x2=﹣4k﹣3.
∵y1=kx1+3﹣k,y2=kx2+3﹣k,∴y1﹣y2=k(x1﹣x2).
根据两点间距离公式得到:
M1M2===
∴M1M2===4(1+k2).
又M1P===;
同理M2P=
∴M1PM2P=(1+k2)=(1+k2)=(1+k2)=4(1+k2).
∴M1PM2P=M1M2,
∴=1为定值.
核心考点
试题【如图,在平面直角坐标系xOy 中,一次函数 (为常数)的图象与x轴交于点A(,0),与y轴交于点C.以直线x=1为对称轴的抛物线 ( 为常数,且≠0)经过A,】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1) 填空:点C 的坐标是(______ ,______) ,对角线OB 的长度是_______cm ;
(2) 当a=1 时,设△OPQ 的面积为S ,求S 与t 的函数关系式,并直接写出当t 为何值时,S 的值最大?
(3) 当点P 在OA 边上,点Q 在CB 边上时,线段PQ 与对角线OB 交于点M. 若以O 、M 、P为顶点的三角形与△OAB 相似,求a 与t 的函数关系式,并直接写出t 的取值范围.
(1)画出△ECD关于边CD所在直线为对称轴的对称图形△E1CD,并求出点E1的坐标;
(2)求经过C、E1、B三点的抛物线的函数表达式;
(3)请探求经过C、E1、B三点的抛物线上是否存在点P,使以点P、B、C为顶点的三角形与△ECD相似?若存在这样的点P,请求出点P的坐标;若不存在这样的点P,请说明理由。
(1)求△BPD的面积S与x之间的函数关系式,并求出自变量x的取值范围;
(2)点P在AC上什么位置时,△BPD的面积最大,此时线段PD长度是多少?
(2)求出图②中表示的种植成本单价z(元)与上市时间t(天)(t>0)的函数关系式;
(3)认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价,问何时上市的绿茶纯收益单价最大?(说明:市场销售单价和种植成本单价的单位:元/500克)
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