题目

题型：湖南省月考题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0），（5，0），（0，2）．
（1）求过A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）若点P从A点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向B点移动，连接PC并延长到点E，使CE=PC，将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF，连接FB．若点P运动的时间为t秒，（0≤t≤6）设△PBF的面积为S；①求S与t的函数关系式；②当t是多少时，△PBF的面积最大，最大面积是多少？
（3）点P在移动的过程中，△PBF能否成为直角三角形？若能，直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由．

答案

解：（1）（法一）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，2）
三点代入解析式得：，
解得；
∴；
（法二）设抛物线的解析式为y=a（x﹣5）（x+1），
把（0，2）代入解析式得：2=﹣5a，
∴；
∴，
即；
（2）①过点F作FD⊥x轴于D，
当点P在原点左侧时，BP=6﹣t，OP=1﹣t；
在Rt△POC中，∠PCO+∠CPO=90°，
∴∠FPD+∠CPO=90°，
∵∠PCO=∠FPD；
∴∠POC=∠FDP，
∴△CPO∽△PFD，
∴；
∴PF=PE=2PC，
∴FD=2PO=2（1﹣t）；
∴S_△PBF==t²﹣7t+6（0≤t＜1）；
当点P在原点右侧时，OP=t﹣1，BP=6﹣t；
∵△CPO∽△PFD，
∴FD=2（t﹣1）；∴S_△PBF==﹣t²+7t﹣6（1＜t＜6）；
②当0≤t＜1时，S=t²﹣7t+6；
此时t在t=3.5的左侧，S随t的增大而减小，
则有：当t=0时，S_max=0﹣7×0+6=6；
当1＜t＜6时，S=﹣t²+7t﹣6；
由于1＜3.5＜6，故当t=3.5时，S_max=﹣3.5×3.5+7×3.5+6=6.25；
综上所述，当t=3.5时，面积最大，且最大值为6.25．
（3）能；①若F为直角顶点，过F作FD⊥x轴于D，
由（2）可知BP=6﹣t，DP=2OC=4，
在Rt△OCP中，OP=t﹣1，
由勾股定理易求得CP²=t²﹣2t+5，
那么PF²=（2CP）²=4（t²﹣2t+5）；
在Rt△PFB中，FD⊥PB，
由射影定理可求得PB=PF²÷PD=t²﹣2t+5，
而PB的另一个表达式为：PB=6﹣t，
联立两式可得t²﹣2t+5=6﹣t，
即t=，P点坐标为（，0），
则F点坐标为：（5，）；
②B为直角顶点，那么此时的情况与（2）题类似，△PFB∽△CPO，且相似比为2，
那么BP=2OC=4，即OP=OB﹣BP=1，此时t=2，P点坐标为（1，0）．FD=2（t﹣1）=2，
则F点坐标为（5，2）．