题目

题型：湖北省期中题难度：来源：

如图，抛物线y=ax²+bx+1与x轴交于两点A（﹣1，0），B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点B作BD∥CA抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）依题意，得：，
解得；
∴抛物线的解析式为：y=﹣x²+1；
（2）易知A（﹣1，0），C（0，1），则直线AC的解析式为：y=x+1；
由于AC∥BD，可设直线BD的解析式为y=x+h，
则有：1+h=0，h=﹣1；
∴直线BD的解析式为y=x﹣1；
联立抛物线的解析式得：，
解得，；
∴D（﹣2，﹣3）；
∴S_{四边形ACBD}=S_△ABC+S_△ABD=×2×1+×2×3=4；
（3）∵OA=OB=OC=1，
∴△ABC是等腰Rt△；
∵AC∥BD，
∴∠CBD=90°；
易求得BC=，BD=3；
∴BC：BD=1：3；
由于∠CBD=∠MNA=90°，
若以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似，
则有：△MNA∽△CBD或△MNA∽△DBC，得：
=或=3；
即MN=AN或MN=3AN；
设M点的坐标为（x，﹣x²+1），
①当x＞1时，AN=x﹣（﹣1）=x+1，MN=x²﹣1；
∴x²﹣1=（x+1）或x²﹣1=3（x+1）
解得x=，x=﹣1（舍去）或x=4，x=﹣1（舍去）；
∴M点的坐标为：M（，﹣）或（4，﹣15）；
②当x＜﹣1时，AN=﹣1﹣x，MN=x²﹣1；
∴x²﹣1=（﹣x﹣1）或x²﹣1=3（﹣x﹣1）
解得x=，x=﹣1（两个都不合题意，舍去）或x=﹣2，x=﹣1（舍去）；
∴M（﹣2，﹣3）；
故存在符合条件的M点，且坐标为：M（，﹣）或（4，﹣15）或（﹣2，﹣3）．