题目

题型：宁夏自治区月考题难度：来源：

阅读材料：如下图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”。我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S_△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
解答下列问题：如下图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B。
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S_△CAB；
（3）是否存在一点P，使S_△PAB=S_△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）设抛物线的解析式为：y₁=a（x﹣1）²+4，
把A（3，0）代入解析式，
求得a=﹣1，
所以y₁=﹣（x﹣1）²+4=﹣x²+2x+3，
设直线AB的解析式为：y₂=kx+b，
由y₁=﹣x²+2x+3，
求得B点的坐标为（0，3），
把A（3，0），B（0，3）代入y₂=kx+b中，
解得：k=﹣1，b=3，
所以y₂=﹣x+3；
（2）因为C点坐标为（1，4），
所以当x=1时，y₁=4，y₂=2，
所以CD=4﹣2=2S_△CAB=×3×2=3（平方单位）；
（3）假设存在符合条件的点P，
设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，
则h=y₁﹣y₂=（﹣x²+2x+3）﹣（﹣x+3）=﹣x²+3x，
由S_△PAB=S_△CAB，
得：×3×（﹣x²+3x）=×3，
化简得：4x²﹣12x+9=0，
解得，x=，
将x=代入y₁=﹣x²+2x+3中，
解得P点坐标为（，）。